Binary Indexed Tree (BIT)

2017-08-01
Đề bài

Cho dãy số nguyên ai gồm N phần tử và Q truy vấn thuộc một trong hai dạng sau:

  • 1 x y: thay đổi a[x] += y.
  • 2 x y: cho biết tổng a[x]+a[x+1]+..+a[y]

Giới hạn:

  • 1 ≤ N ≤ 105
  • 1 ≤ Q ≤ 105
Định dạng test

Input:

  • Dòng đầu tiên là N và Q.
  • Dòng tiếp theo là N số nguyên ai.
  • Q dòng tiếp theo là Q truy vấn thuộc một trong hai dạng trên.

Output:

  • Các dòng trả lời cho các truy vấn loại hai.

Ví dụ:

input:
5 5
2 4 8 2 1
2 1 5
1 2 10
2 1 3
1 3 -3
2 3 4
---
output:
17
24
7
Thuật toán

Có thể sử dụng Binary Indexed Tree (BIT). Tài liệu tham khảo:

Hackerearth

Topcoder

Cuối cùng, một bức hình hơn vạn lời nói:

Hình 1. BIT for a 17 element array.
Source: Hackerearth BIT tutorial
Source code

Ngôn ngữ: C++.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

const int N = 1e5 + 5;
int n, q, a[N], BIT[N];

void update(int i, int v) {
    for(; i <= n; i += (i&-i))
        BIT[i] += v;
}

// prefix sum i: a[1] + .. + a[i]
int query(int i) {
    int sum = 0;
    for(; i >= 1; i -= (i&-i))
        sum += BIT[i];
    return sum;
}

int main() {

    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    // input & init
    cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        update(i, a[i]);
    }

    // solve query
    while(q--) {
        int t, x, y;
        cin >> t >> x >> y;

        if (t == 1) update(x, y);
        else cout << query(y) - query(x-1) << '\n';
    }

    return 0;
}
Độ phức tạp

Hàm query, update: O(logN).

Độ phức tạp tổng quát của bài toán: O(NlogN + QlogN).